抽象代数 ¶

课程学习内容 ¶

代数学是研究各种代数结构的性质的学科，抽象代数作为入门课程，主要研究群、环、模以及域的基本性质，为日后学习更深入的代数知识打下坚实基础。同时抽象代数在物理学、量子计算、密码学以及理论计算机等领域有非常重要的应用，因此对代数学或者其应用感兴趣的可以选择，这门课更具体而言主要涉及如下内容：

• 群论
  • 群的基本定义，循环群、二面体群以及置换群等基本群的定义与性质
  • 子群，陪集，商群，正规子群等的概念，以及拉格朗日定理
  • 群同态基本定理，对应定理
  • 群作用，凯莱定理，类方程，Sylow 定理
  • 单群，合成列，Jordan-Holder 定理简介，可解群的定义等（应用于群分类以及五次方程问题）
• 环论
  • 环的基本定义与例子，整环、体、域等特殊的环的定义与例子以及分式域等
  • 环的理想，环同态基本定理，中国剩余定理
  • 极大理想与素理想的定义与性质，素元、不可约元等概念
  • 三种重要的整环：欧几里得整环、主理想整环以及唯一分解整环的定义、例子与性质
  • 多项式环，高斯引理，艾森斯坦判别法等
• 模论
  • 模的基本概念与例子，子模，模同态基本定理
  • 主理想整环上有限生成模的分类及其应用（有限生成阿贝尔群的分类定理以及若当标准型的推导）
  • 张量积
• 域论
  • 域的特征，域扩张的定义与性质，单扩张、代数扩张、代数闭域等的定义与性质
  • 分裂域与正规扩张的定义与性质
  • 可分扩张的定义与性质，有限域理论，本原元素定理等
  • 伽罗瓦理论，包括伽罗瓦扩张、伽罗瓦群的定义，伽罗瓦理论主定理及其应用（分圆域、五次方程、尺规作图等）

需要强调的一点是，抽象代数只有 4 学分，所以上面的内容几乎不可能都在一学期之内讲完，所以不同老师各有侧重（但基础内容尽管顺序可能略有差别但基本是一致的），例如吴志祥老师热爱模论，刘东文老师热爱环论和域以及伽罗瓦理论。事实上大部分老师都不怎么讲伽罗瓦理论，但刘东文老师是个例外，毕竟他的研究方向与代数数论相关，当然后果是模论只讲了一个多星期就草草结束。

先修要求 ¶

高等代数（注：如果只学习了普通线性代数，并不会有很大的困难，但对以下内容熟悉会对这门课的学习有帮助：线性映射，商空间，若当标准型以及多项式中的唯一分解定理、高斯引理、艾森斯坦判别法等，如果没有学过并且造成理解困难可以边学习抽象代数边补充这些内容）

任课教师 ¶

课程教材 ¶

Algebra [ 美 ] Thomas W. Hungerford

GTM 73，一本比较全面的教科书，按刘东文老师的说法，选择这本书的原因在于他上课讲到的内容在这本书里大都可以找到对应。但这本书缺陷在于编写时比较喜欢形式化描述，所以对于入门并不是特别友好，并且与读者交流感不强，所以阅读体验不如其它一些教材。

Algebra [ 美 ] Michael Artin

非常经典的一本代数入门教材（还包含了一些线性代数内容），事实上也覆盖了讲授所有的基本内容，并且可以看出刘东文老师的一些思路是参考了此书的。这本书相对于 Hungerford 更加清晰易懂适合入门，习题也不错，但缺陷在于推进比较慢，如果只是自学可能容易缺乏耐心（错乱），但如果有老师带着学一遍还是一本很不错的参考书的。

参考阅读 ¶

如果对于英文书有天生的畏惧，或者觉得中文书在罗列知识点方面更适合初学者的话也可以参考如下教材：

《抽象代数 I——代数学基础》 孟道骥等（南开大学）

国内最早一批内容很完整并且也比较清晰的教材。这本书的好处在于事无巨细都给你介绍清楚了，很多细节的性质都会罗列并证明， B 站对应有南开大学顾沛老师的网课可以看，初学时有老师的讲解还是很好的事情。但这本书的缺陷在于非常啰嗦，在简单且没有必要太过于纠结的问题上会停留很久，所以看久了也容易失去耐心。

《代数学（上）》 莫宗坚

国内质量上乘的代数学教材，好处是推进比较快，写得很清爽，能快速抓住重点，对于自学而言看起来比较舒适，并且很多例子是为后续学习代数几何打下基础的。缺陷在于这本书有拼凑嫌疑，所以会出现有些记号和概念没有介绍就直接使用的情况，所以如果是完全初学不建议直接自学这本书，但有老师带着学一遍是很好的参考书。

分数构成 ¶

补充说明 ¶

事实上抽象代数对于数学系的同学而言都是比较困难的一门课，的确如其课程名称一般“抽象”，因此如果线性代数都觉得较为吃力的同学可能需要谨慎选择，如果只是想了解少量的应用也不是很建议直接选择这门课。但对于热爱代数学或者喜欢一些应用例如密码学、PL 理论等的同学来说，这门课是重要的基础课程，也是检验是否真的热爱或者适合代数学及其应用学科的试金石（错乱），并且至少在“代数天花板”刘东文老师的课上是能同时收获较为完整的知识体系、好的听课与学习体验以及满意的成绩的。

事实上，完成这门课的学习后，整个代数学领域的大量课程都是可以选修的，例如学习了群论可以继续学习表示论的知识，学习了环论可以继续学习交换代数与代数几何等，学习了环论以及伽罗瓦理论后可以学习代数数论等课程，这些课程的大致内容介绍留待大佬补充。