线性代数 Ⅰ（H）¶

课程学习内容 ¶

线性代数是工科应用数学不可或缺的基础，也是将来对数学感兴趣的同学进一步学习的基础，因此十分重要。事实上，不同于普通的工科线性代数（即院外的线性代数（甲）课程），线性代数 Ⅰ（H）上课的思路与求是科学班类似，从抽象的线性空间起步，而非行列式的计算开始，具体内容如下：

• 基础知识
  • 关系与等价类（并非所有班级都会讲授）
  • 映射（吴志祥老师会在讲线性映射的时候返回来讲这一部分）
  • 高斯消元法
  • 基本代数结构：群、环、域的简单介绍（只有吴志祥老师会讲）
• 线性空间
  • 线性空间的定义、性质，子空间，线性相关性，基与维数，向量的坐标
  • 子空间的运算（交、和、直和、补），线性空间维数公式
  • 内积空间，单位正交基，施密特正交化，正交补
• 线性映射与矩阵
  • 定义，像与核，线性映射基本定理
  • 同构的定义与等价条件
  • 线性映射的运算，线性映射矩阵表示，线性映射构成线性空间与矩阵空间的同构
  • 矩阵运算（加法、数乘、乘法、逆、转置、初等变换、分块）
  • 矩阵的秩，相抵标准形
  • 过渡矩阵的定义与性质
• 行列式
  • 行列式的定义、基本性质
  • 行列式的拉普拉斯展开定理，行列式的计算技巧等
  • Cramer 法则
• 线性方程组
  • 线性方程组有无解的一般理论
  • 齐次与非齐次线性方程组解的性质的一般理论
• 相似对角化
  • 正交变换与正交矩阵
  • 相似的定义与性质
  • 特征值与特征向量，可对角化的条件，实对称矩阵可对角化
  • 二次型的标准形，正定二次型

需要注意的是，从 2022-2023 学年起，线性代数 I（H）课程理论课时由一星期 4 节降为 3 节，增加一节习题课，因此目前只有吴志祥老师能讲完与内积相关的部分，因此内积相关的内容（内积空间、正交变换、实对称矩阵对角化等）不在考试范围内，将在线性代数 II（H）中进一步学习和考察。

任课教师 ¶

课程教材 ¶

《大学数学：代数与几何》高等教育出版社

该教材的教学思路不同于国内主流工科线性代数教材。该教材从代数结构（如群、环、域、线性空间）和映射出发，加上线性的定义，搭建了线性代数的知识体系。这与普通工科线性代数从行列式开始教学，几乎只注重计算的思路是截然不同的。建议大家尝试去掌握抽象的映射思维，而不只是掌握线代的计算，这对大家以后的学习很有帮助。当然刚开始的时候可能会有些不适应，那么实际上习惯之后前面的抽象部分反而变成最简单的内容，后续矩阵计算的技巧，以及特征值一些比较难的题目则需要进一步的练习，当然考试也不一定会考到这种程度。

此外需要注意的是，线性代数 I（H）课程只讲授前七章的内容，并且其中全部的几何内容、打星号以及小字部分也都不在考察范围。

《线性代数 · 未竟之美》

简称 LALU，是图灵班学长倾力编写的配套辅学讲义，体系完整，相较于教材更注重自然的引入，追求低起点高落点，证明也会更加细致，整体讲解会更清晰适合入门。书中例题和习题相较于教材更加丰富，并且其中有所有可以找到的考试历年试卷。

LALU 开源仓库： yhwu-is/Linear-Algebra-Left-Undone

课程学习建议与推荐书目分级 ¶

第 0 级【考前如何突击，从几乎零开始】¶

线性代数 I（H）课程内容不难，但是我个人认为完整学下来才能建立完整体系，所以从零开始想要获得较高的分数是比较困难的。但是，线性代数 Ⅰ（H）考试也并不难，并且有送分题，请特别注意所有的计算题一定要会，计算题能都写出来就肯定能过。除此之外，建议教材一定要过完，可以看谈之奕老师的智云课堂。建议考前至少半个月速成。如果你真的懒，只想不挂科，那么计算题会做就行。

第 1 级【按照课程设计要求学习】¶

（只追求成绩到此步即可，因为线性代数 I（H）考试并不会很难。很多同学可能这一部分也难达到，所以一般同学初次接触线性代数可以到此为止。当然很建议有能力往上走，当然自己精力希望放在其他方面也可以到此为止）

如果自己的老师上课比较一般，可以选择看吴志祥老师或者谈之奕老师的智云课堂。因为我们的线性代数体系与一般学校的不一样，因此不太建议看其他中国大学的网课。特别要注意教材上的例题和课后习题，期末考试题很多都由此出发，如果能把课后题都做完并吃透，这门课想拿好看的分数是肯定不会有问题的。

如果想看网课，推荐 Gilbert Strang 的网课，他的视频有两个系列，一个是非常古老的，还有一个是 2020 version，后者不太完整。

课外有兴趣可以看 3Blue1Brown 的系列视频线性代数的本质，可以建立起对线性代数有更直观的认识。（3Blue1Brown 的微积分的本质 系列也值得一看）

书籍推荐 ¶

• Introduction to Linear Algebra, Gilbert Strang

  这本书的内容相对偏重工科，和 Prof. Strang 的网课形成了相当好的配合，但是对于更加代数的部分，例如我们提及的二次型和线性空间则没有特别合适的介绍；其中有些应用相当有用，可以多加注意。

• Linear Algebra, Friedberg

  求是科学班的线性代数教材，事实上比较贴合我们的授课思路，两门线代都是如此，并且写得也比较亲民，感兴趣的同学可以阅读。

第 2 级【其它可供参考的教材】¶

如果大佬希望达到数院高等代数（其实和我们两门线代加起来区别不是很大）或者往抽象代数走的话，可以考虑一下教材：

书籍推荐 ¶

• 《高等代数》谢启鸿

  国内相当不错的一套高等代数教材，并且有非常厚的配套习题集，都是可以参考的。谢帅博士期间是在东京大学研究代数几何的，因此功力相当深厚，也很强调高等代数与其它数学内容的联系，相比于下面要介绍的丘老的书也更加简洁清晰，逻辑非常清楚，并且 b 站有配套课程可以看。缺陷在于这本书是从行列式起步的，所以内容组织和重点上有较大差别，可以有选择地阅读。

• 《高等代数》丘维声

  国内最为经典的高等代数教材之一，写得很全，并且丘老在 b 站也有配套的网课。这本书还有配套的学习指导，上面题很多，而且良莠不齐。总而言之这本书从行列式起步，讲的内容和我们的书相差挺大。里面有大量不做要求的内容，但是体系相对完善。给 21 级学长学姐上线代（H）的冯涛老师作为丘维声老师的学生，极力推荐这本书。但个人觉得丘老这本书从自学的角度并不是很友好，内容显得过于繁杂，不是非常推荐。

• Linear Algebra Done Right, Sheldon Axler

  这本书是线代 Ⅱ 的教材，之所以把它放在这里，是因为这本书没有前置知识要求，所有的要求只是数学思维罢了，但的确不适合第一次学习线性代数就阅读，不太容易看懂，因为有些内容和思路作者显然是默认你已经熟悉，所以写得也很简洁，另一方面初学就看会忽略其中一些很美妙的思想，如果学过后续课程再回过头来看会有更深的体会。总而言之这本书已经不仅仅是普通的线性代数教材了，其中蕴涵着丰富的更高深的数学思想，学完后再看一定会有所收获。

• Algebra, Michael Artin

  非常经典的一本代数学教程，有些啰嗦以至于一开始看感觉莫名其妙，但是仔细看下去坚持到最后还是能收获不少东西的。这本书中线性代数与抽象代数穿插讲解，适合于想进一步学习抽象代数并且不嫌这本书啰嗦的同学阅读，并且在经历一番折磨后反观线性代数，或许能发现更多更有意思的东西。

第 2 级【矩阵论视角（矩阵计算及矩阵的相关应用）】¶

如果感兴趣量子计算，或者理论机器学习之类的，下面几本矩阵论的相关书籍是可以提供很实在的参考的。

书籍推荐 ¶

• A Second Course in Linear Algebra Stephen Raman Garcia, Roger A. Horn

  这本书的视角还是矩阵论的，有很多对于特殊矩阵的介绍，例如 Householder 矩阵等，对于希望在以后更多从事数值算法研究的同学有不错的参考价值。

• Matrix Analysis Roger A. Horn, Charles R. Johnson

  同样追寻了上一本书的路径，第六章的内容，i.e. 特征值的扰动尤为有趣。需要说明的是，我们课本上讲到的二次型在大多数书中都不会细讲，我能找到的一本相对不错的书是康威《二次型的代数和几何》，但是这本书对前置知识的要求比较高。对最后一节提到的随机矩阵感兴趣的，参考陶哲轩《随机矩阵论》。