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实分析

课程学习内容

本门课程是由数学科学学院开设的本研合上课程（3 学分），大二、大三、大四还有研究生都有一定选课人数。这门课主要介绍抽象测度与积分理论这个重要的基本工具，可以进一步学习研究与分析学方向相关的一些前沿理论，如函数论，调和分析，概率论等提供必要的理论基础。

2024-25 学年的课程主要包括以下主要内容（参考浙江大学数学之韵网站）：

  • 测度
    • 代数和 \(\sigma\) 代数、乘积 \(\sigma\) 代数
    • 测度
    • 外测度、Carathéodory's theorem
    • 基本族和预测度，测度的扩张
    • Borel 测度、Lebesgue-Stieltjes 测度
  • 积分
    • 简单函数、可测函数
    • 非负 / 实值 / 复值可测函数的积分
    • 收敛定理
      • 单调收敛定理 (MCT)、Fatou 引理、控制收敛定理 (DCT)
    • 可测函数的几种收敛、收敛定理
      • Egoroff 定理、Riesz 定理
    • 乘积测度、Fubini—Tonelli 定理
  • 符号测度与微分
    • 符号测度
      • Hahn 分解定理
      • Jordan 分解定理、全变差
    • （符号）测度的关系
      • 相互奇异
      • 绝对连续
    • Radon-Nikodym 导数与 Lebesgue 分解（Lebesgues-Radon-Nikodym 定理）
    • 复测度
    • \(\mathbb{R}^n\) 中的微分
      • Hardy-Littlewood 极大函数
      • Lebesgue 微分定理
    • 有界变差函数、绝对连续函数
    • 分部积分公式、微积分基本定理
  • \(L^p\) 空间
    • \(L^p\) 空间的基本性质
      • 范数、完备性
      • Hölder 不等式
      • Minkowski 不等式
      • 不同指标的 \(L^p\) 空间的关系
    • \(L^p\) 空间的对偶
    • \(L^p\) 空间的不等式
      • Chebyshev 不等式
      • 积分 Minkowski 不等式
    • \(L^p\) 空间的分布
      • 分布函数、弱 \(L^p\)
    • \(L^p\) 空间的插值（因课时问题没讲）
      • Riesz-Thorin 插值定理
      • Marcinkiewicz 插值定理

Note

请区分实分析与实变函数两门课程：实分析从最基本的代数结构和抽象测度入手，而实变函数相当于这一部分的简单化，基本只讲实数空间的 lebesgue 测度。可以说：实分析包含了更多内容，实变函数是实分析中最基础的一部分内容。

先修要求

数学分析、高等代数，实变函数，点集拓扑。

实际上，若未学习过实变函数和点集拓扑也可以直接选这门课，不会有太大影响；当然若有一定了解更好，更容易适应。实分析的课程体系是自洽的，只是提高了不少难度。

任课教师

席亚昆老师是一位非常优秀的老师，一方面，他是 Christopher D. Sogge 的学生、调和分析大师 Stein 的再传弟子，功力深厚；另一方面，无论是课堂效果、上课的过程的准备，以及回答问题的耐心等都是第一档的。老师上课以纯板书方式授课，会依据教材来准备但不是照本宣科，讲课非常有条理，注重逻辑和前后衔接，且会适当拓展。老师极具亲和力，也非常注重学生听课时的感受，可能与他曾经在 Rochester 大学任教的经历有关。每一位选席老师课程的学生都值得认真对待这门课。

课程教材

  • Folland, G. B. (1999). Real analysis: modern techniques and their applications. John Wiley & Sons.

    非常经典的（基于抽象测度的）实分析教材。内容丰富，脉络清晰，证明简洁有力（虽然很多都留作了习题），习题质量高（同时也很难）。本书的 1、2、3、6 章基本可以涵盖授课内容。（除此之外，课程的时间有限，教材后续的 Radon 测度和 Fourier 变换的内容在课程结束后可以进一步学习；同时，此书中不只有实分析的内容，同时包含基础拓扑、泛函分析中的线性算子与线性泛函、高等概率论相关内容，虽然这些不属于课程范围。）

    全书的内容非常丰富，但笔者认为阅读此书需要读者有比较好的基础与理解能力，例如很多的定理证明有大量的简化、跳步，很多时候会造成证明阅读的困难，需要反复阅读加以思考，因此作为实分析入门读物或自学读物难度颇高（天才请忽略这句话）。但若结合席老师上课的细致讲解，理解起来会容易得多。

    此书勘误表：https://sites.math.washington.edu//~folland/reals.pdf。

分数构成

作业 20pts，期中考试 20pts，期末考试 60pts。

考试题型一般是若干道判断题（占卷面 30~40 pts 左右）+ 若干大题，全闭卷。

参考资料

参考笔记

推荐书单

实分析有众多经典教材，包括但不限于 Baby Rudin、Stein、Royden、Serge Lang、Axler 等人的书。笔者认为修读本课程无需再诉诸其它教材，故不赘述。若是想接触几何测度论，可以先阅读 Evans 的 Measure Theory and Fine Properties of Functions。

课程学习建议

实分析课的内容本身还是有一定难度的，因为它研究的对象都是在最一般情况下的、“性质很差”的函数，证明有一定的技巧性。同时，抽象测度与积分理论更像是一种语言或者范式，在学习过程中需要去接受这套语言的叙述和分析方式。“实变函数学十遍”，并不是一句玩笑话，除了上课需要集中注意力跟上老师的思路，下课也需要反复去读教材、去思考，并作练习。无论以何种方式学习实分析，一定量的练习与思考总结都是必要的。这门课的考试不会考定理背诵默写，而是很考察对定理条件的认识和反例的积累，以及认识到很多内容的内在联系；书上还有很多结论或者内容在练习题中，也会考到。

这里借用柯朗在《微积分和数学分析引论》中的序言：

最后有一点请学生读者注意，要想一页一页地、毫不费力地学习这样一本书来精通这一学科，可能遭到失败。只有首先选择一些捷径，再反复地回来钻研同样一些问题和难点，才能从更高的观点得到较深刻的理解。

关于更加仔细的学习建议，可以参考【数学之韵】数应大二下数学课总结（复变函数、实变函数、实分析、微分几何）https://www.cc98.org/topic/6228937。