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点集拓扑

课程学习内容

这门课和想象中的研究形状的扭结，莫比乌斯带等东西的拓扑学完全不一样。点集拓扑中出现的很多概念很多是抽象自我们早已熟悉的空间，特别是欧氏空间 \(\mathbb{R}\) 或者更为一般的度量空间，例如开闭集、可数性、分离性、紧性等概念都是从欧氏空间的性质出发，去讨论它们在更一般的拓扑空间上的定义。点集拓扑主要聚焦下面的内容

  • 一些基本“空间”的例子：如欧式空间、度量空间，它们是点集拓扑中很多概念的出发点，也是重要的范例。同时还有一些特殊的空间，可以帮助我们构造反例，或者理解为什么要研究某些性质较差的对象。
  • 面临一个空间如何引入恰当的拓扑，或者构造新的拓扑空间：子空间，用拓扑基生成拓扑（如乘积空间）、强或弱拓扑、“粘合”空间的商拓扑等。
  • 在不同角度上对我们研究的空间进行刻画，这需要用到所谓“拓扑性质”，也就是在同胚下保持不变的性质，主要有分离性、可数性、紧性、连通性等。

这门课完全没有计算，全是证明，据我所知对于数院同学来说也是一个关卡。

如下是 2024 年点集拓扑课程的授课内容（参考浙江大学数学之韵网页）：

  • 拓扑空间
    • 拓扑的定义、拓扑空间的比较
    • 离散拓扑与有限补拓扑
    • 基与子基
    • 下限拓扑与 K- 拓扑
    • 序拓扑、积拓扑与子空间拓扑
    • 闭集与极限点、Hausdorff 空间
    • 积拓扑与箱拓扑
    • 度量拓扑
  • 连续函数
    • 连续性的定义与等价定义
    • 同胚与嵌入
    • 构造连续函数
  • 连通性与紧致性
    • 连通性的定义与性质
    • 实直线上的连通子空间
    • 道路连通性
    • 紧致性的定义与性质
    • 管状引理
    • 实直线上的紧致子空间
    • 极限点紧致性与局部紧致性
  • 可数性公理和分离公理
    • 两个可数性公理的定义与实例
    • Lindelof 空间与可分空间
    • 三个分离公理的定义与性质
    • 正则空间与正规空间
    • (*)Urysohn 引理与可度量化定理

先修要求

无。学过数分 I 的同学都能学，数分 I 的 \(\mathbb{R}\) 空间起的作用其实就是提供一个例子和直观性了。

任课教师

刘东文老师手写板书投屏，还是很清晰的，智云录的质量也很好。

课程教材

  • Topology [ 美 ] James R.Munkres

    习题难度适中，正文例子比较多，还是比较易懂的。而且每一节不长，大概就介绍一个主定理或者概念，上课一次能讲两三讲的样子，所以看书也不算很辛苦。

参考资料

参考笔记

推荐书单

Munkres 的书胜在标准全面，但可能有人会觉得这本书有点繁琐复杂，在此简单补充一些其它的参考资料：

  • 熊金城 (2020). 点集拓扑讲义（第五版），高等敎育出版社

    此书缺点是思想体系较为古老（如缺乏 net 和 filter）、缺乏几何直观（如很少有配图），但优点是比较通顺清晰，可以拿来自学。

  • Lee, J. M. (2000). Introduction to topological manifolds. New York, NY: Springer New York. (GTM 202)

    第 2、3、4 章也很适合入门使用。

  • Armstrong, M. A. (2013). Basic topology. Springer Science & Business Media.

    经典拓扑学教材，比较适合本科生。

  • Conway, J. B. (2014). A course in point set topology. New York: Springer. (UTM 146)

    面向大一学生的点拓讲义，从度量空间出发再到对拓扑空间和函数的讨论。非常薄的一本书，内容可能相比于其它教材有点少。

  • USTC 王作勤老师的拓扑学讲义：http://staff.ustc.edu.cn/~wangzuoq/Courses/22S-Topology/index.html。

补充说明

点集拓扑的内容在后续课程如果要用到经常还会再讲一遍，比如实变函数，所以要继续学后续数学课的话，学不好可能也不是不行吧（bushi）后面用到的很多也就是拓扑空间的特例，也没这么抽象。感觉最难的是第一次课，那个拓扑空间的定义确实过于抽象了，但是后面习惯就好。

总的来说，点拓相当于“最一般的分析”，用最朴素的数学工具（集合）讨论最广泛的“空间”与“函数”的性质，而这些基本都是在数学分析和泛函分析里边推广得到的。但是过度的抽象导致我们现在把“带着解决问题的目的而发展定义和理论”这个过程反过来了。同时，过度抽象也导致点集拓扑中各种定义和小的性质都很多，初学不能完全掌握也是正常的。个人的经验是根据我们熟悉的分析学中的例子反过来加深对拓扑的理解，像是老生常谈的拓扑空间的开集的原像是开集作为连续性的定义，对应数学分析的欧氏空间和泛函分析的度量空间的连续性，闭集对应极限运算封闭，有限覆盖定理对应紧致性，致密性定理对应列紧性，等等。还有就是适应它“抛开距离讨论空间”的这套语言。点拓无非就是换了一套集合的语言，从另一种角度来搞分析。