数值代数 ¶

课程学习内容 ¶

课程主要内容为《数值线性代数》几乎整本书的内容，核心内容为三大矩阵计算问题，即：

• 求解线性方程组问题，即解 Ax=b

  • 第一章 直接解法： Gauss 消元， Cholesky 分解
  • 第二章 敏度和误差分析：向量 / 矩阵范数，机器 / 舍入误差分析，敏度分析
  • 第四章 古典迭代解法： Jacobi 迭代， Gauss-Seidel 迭代，松弛迭代，收敛性和速度分析
  • 第五章 共轭梯度法：最速下降（即梯度下降），共轭梯度法， Krylov 子空间

• 线性最小二乘问题，即给定 m×n 矩阵 A 、 m 维向量 b 和 n 维向量 x ，最小化 Ax - b 的 2- 范数

  • 第三章 最小二乘问题：正则化方法， Householder 变换、 Givens 变换

• 矩阵特征值问题，即给定 n 阶方阵 A ，求其特征值 / 特征向量

  • 第六章 非对称特征值计算：幂法 / 反幂法， QR 方法，原点位移 / 双重步位移 / 隐式 QR 方法
  • 第七章 对称特征值计算： Jacobi 方法，二分法，奇异值分解

这门课是强基数应的核心专业选修课，也是求是数应的个性修读课，是正统的数院专业课，因此课程内容难度很高，但是考试会放水。

先修要求 ¶

• 线性代数

对线性代数要求还是比较高的，作业题大部分都是基于线性代数的证明题。

课程教材 ¶

《数值线性代数》

20 级用的第二版，徐树方编著，北大出版。全中文，没有发现什么错误，个人认为课本讲得挺清楚。有一点小麻烦就是部分作业题难到变态，仲杏慧老师可能会布置作为附加题，独立完成并提交可以获得额外加分。

分数构成 ¶

以下为仲杏慧班的给分规则。

• 作业（30%）

  每周都会布置一次作业，理论作业必定布置，大部分为线性代数 plus 的证明题和少量计算题；很大概率会带有上机作业，上机作业一般使用 matlab 实现，但是不限语言，比如用 python import numpy 也行。

• 考试（70%）

  期末试卷由仲杏慧姐姐掌控，有史以来的期末都出得很简单，人称人美心善慧姐姐。可以在 cc98 查到一些历年卷。

• 附加（±??）

  完成仲杏慧布置的附加题可以获得作业和考试之外的附加分，溢出 100 按 100 计算。之所以是正负号是因为如果被发现是抄的网上的答案（很多都是错的）之类的，提交附加题反而会被扣分，因为浪费了老师的时间。

任课教师 ¶

参考资料 ¶

暂无

学习建议 ¶

可以认为是线性代数Ⅲ，其中的算法感觉还是很适合我们学习的，就是 debug 比较头秃，一些很难的算法（如隐式 QR 算法）可能要爆肝多日才能成功肝出来。笔者在数值代数的上机作业中学到了 matlab 的基本数学运算方法，还是比较方便的。当然用 python 也是不错的选择，只是如果想要直接利用课本 matlab 风格伪代码的话还是用 matlab 比较好。

只要认真学，这课给分不会差的。可与该课比拟的是培养方案中的数值分析，相比而言数值代数全称为数值线性代数，绝大部分聚焦于线性问题，而数值分析范围就广很多，更聚焦非线性问题的处理。然而学分上数值代数甚至比数值分析多 0.5 ，可见在线性问题这方面数值代数远比数值分析细致、深入。它们也可以进行关联，比如很多非线性问题用一些方法处理之后可以用线性方法求解，那么就要应用到数值代数的知识求解了。最后建议对数学证明以及数值算法实现比较感兴趣的同学选这门课。