跳转至

1706781381

数值分析

CS 专业模块-计算机科学

课程学习内容

这门课在简单概念基础之外，主要分为两大板块：解方程，以及插值 / 近似。与教材章节存在以下对应关系：

  • 概念基础
    • 第一章：数学基础
  • 解方程
    • 第二章：一元方程的解
      • 二分法，定点迭代法，牛顿法，也提出了一些加速收敛的方法
      • 本章节都是迭代解法，以定点迭代为分析框架，并进行误差分析
    • 第六章：线性方程组的直接解法
      • 先研究传统的高斯消元法，针对稳定性提出了选主元策略
      • 从多条一元公式的形式，过渡到矩阵标准形式表达，给出基于 LU 分解进行解方程的框架
      • 对特殊类型的矩阵，也有特殊的直接解法
    • 第七章：矩阵代数的迭代解法
      • 其实就是线性方程组的迭代解法，与第六章互补
      • 数学基础：向量 / 矩阵范数，特征值 / 特征向量，谱半径
      • 古典迭代方法：Jacobi、Gauss-Seidel 以及松弛迭代
      • 与第二章类似，也进行了误差分析，并给出一种迭代优化的方法
    • 第五章：常微分方程初值问题
      • 常微分的基础理论（截至 2023 秋冬，似乎没学会也不影响考试）
      • 高阶泰勒方法，其一阶形式为欧拉法；Runge-Kutta 法提高精度；隐式法提高稳定性
      • 从单步方法过渡到多步方法，从一元常微分方程过渡到常微分方程组
      • 单独一章讨论稳定性问题
  • 插值 / 近似
    • 第九章：特征值近似
      • 幂法 / 反幂法 / 移位幂法，对应模最大 / 最小 / 最接近的特征值
    • 第三章：插值与多项式近似
      • 插值方法上，有 Lagrange 插值、Hermite 插值和三次样条插值等
      • 具体计算有 Neville 方法，利用差商记号简化表示
    • 第八章：近似理论
      • 不同于插值，对于近似场景，给定的点可能是不准确的
      • 近似的标准，正交多项式，最小二乘近似
      • Chebyshev 多项式及其应用，但不是最小二乘近似
    • 第四章：数值微分 / 积分
      • 数值微分相对介绍较少
      • 数值积分，多段复合，再考虑 Richardson 外推引入 Romberg 积分
      • 通过自适应步长、释放选点的自由度等方法，提高积分精度

在解方程板块，除了精度，可以看到收敛性和稳定性也是评估算法的重要标准；而在插值 / 近似的板块，则可以看到，主要关心的就是误差。总体来看，这门课覆盖范围很广，研究的问题也比较基础，学习难度并不小。

任课教师

授课：xww 老师就比较正常的计院老师讲课风格，读 PPT 偏多，时不时卡顿，听课与否都是可以的。PPT 也是沿用的 DS 那一套 PPT 风格（都是多年前由陈越姥姥统一制作，比如时不时出现一个大拇指，配上响亮的音效）PPT 基本上可以用来自学，但有些地方可能会觉得莫名其妙，可以结合老师的讲解。

给分：老师的给分是非常好的，22 Fall 老师公布了平时分的情况，大家平时分几乎都是满分。

授课：黄劲老师教学非常有激情，但是相比 xww 老师，难度会更高（他会很贴心地问大家有什么地方没听懂，但是怎么感觉只有我没听懂啊！）。要想跟上他课上的推理，最好熟练掌握此前数学课上所学的知识，以及一点数学素养。PPT 亦是 DS 风格，如果不听课要拿 PPT 来自学，可能会有困难（虽然我听了课也看不懂）。

给分：我推测，中高段会捞（虽然我没捞起来）

授课：中文授课，各个老师都一样的英文 PPT，讲的还是很清楚的，对知识点有自己的理解并较为明白地解释给我们：为什么要这么做，怎么推导出的、具体例子怎么算，层层深入地阐释。没有纸面作业，课堂上会有小的 Discussion（1-2 题的小测，算分），交上去后会讲解。

给分：平时分比较求是，不算很捞（有一点），不会乱给你扣分，推测期末卷改的也不是很严。

课程教材

Numerical Analysis 7th, Richard L. Burden J.Douglas Faires

一本比较老的教材（实际上这本书已经有第十版了，但教材仍然执着于第七版，需要自己买，笔者订了教材也没有拿到）
书的内容比较多，但部分地方不太清楚，而且和老师上课所讲会有出入。不太建议单纯通过教材自学。
作业均来自上面的课后题，奇数题答案在书后面，其他的也可以在 Google 上搜索，很多题都是国外 NA 课程的作业。
xww 老师会发电子版，但期末考试开卷，买一本还是相当有必要的。

分数构成

成绩组成：Lab（36%）+ 期末（40%）+ Quiz（4%）+ 展示（15%）+ 作业（5%）

  • Lab：pintia 上面的 8 个 Lab, 前两三个比较麻烦，因为有些测试点非常恶心，可能需要面向测试点编程。后面的 lab 会比较简单，就是实现书上的算法。老师最开始说的是 lab 布置之后两周之内要完成，不过从最后的结果来看似乎全拖到期末再做也是可以的。可能会查重，还是要自己理解了再写，不要直接 CV 网上代码。
  • 每次课的 PPT 上可能会有若干个 Topics, topics 是需要抢的，如果手慢只有在快期末的时候才能展示了（不过大家都能安排上，不用担心）。Topic 基本上是让介绍一个算法或者利用讲的算法做拓展，工作量不算大，主要就是上网查查资料然后做代码实现。展示后老师或者同学会提问，最后由老师打分。从最后公布的平时分看，只要完成了老师都会直接给满分。
  • Quiz：两次小测，用来点名。回答问题可以加一分，老师说回答了问题下次小测就不用来了（笑）
    • 在 2023 秋冬，Quiz 就是签到性质，写错了也能拿满
    • 没有提交 Quiz，又比较在意成绩的话，还是要积极点回答老师问题亡羊补牢一下，老师的问题经常没人回答
  • 作业：每次课后会有几道题作为作业，题不多，但是有的题比较麻烦，需要借助 Python 或者其他的计算工具，否则计算器不知道要按多久。
  • 期末：期末开卷，可以带教材和打印的 PPT. 考试难度不大，蛮多原题，而且不会超过作业题的难度。对于 PPT 上的原理，证明相关的内容基本不涉及，主要考察各种方法的应用。

< 分数构成，可具体介绍各部分，如作业情况、实验内容及形式、考试范围及形式等 > 等待有缘人补充

成绩组成：Lab（30%）+ 期末（40%）+ Discussion（18-20%）+ 展示（7%）+ 问答（3-5%）

  • Lab：pintia 上面的 8 个 Lab，测试点比较难过，有时候基本看别人代码写出来的，却奇怪地通过不了一些测试点。据说会查重，但只要不完全一样，好像不会被抓。
  • 展示：根据老师给的 Research Topic 做 PPT 解释原理 / 推导过程 / 自己代码的实现结果，可以看智云的往年展示，一半互评一半老师评。
  • Discussion：其实就是小测，也用来点名。一般是一个刚刚学的知识点的小题目，交上去写了名字就有 60%。不难，可以在历年整合好的 PPT 找到答案。最好还是理解，不要有答案就硬抄。
    • 学完一部分（总共三部分：解方程、插值和积分、常微分）会有一次阶段性测试，占比大一点，题目类型与期末类似，是好的复习机会。试卷会发下来讲，应该能找到历年的。
  • 回答一次问题可以加一分，发言困难症没凑齐（哭）
  • 作业：不同于其他老师，没有纸质作业，事少。
  • 期末：开卷，建议带上 PPT，感觉教材其实可有可无，主要内容和方法都在 PPT 上，顺序与教材不同，没看过那本厚厚的教材会很难找。当然一份自己整理好的纸质笔记就更好了。考的东西不难，计算量较大，题目不一定直接告诉你用什么方法，而是委婉地说某种方法的特征，所以需要理解各个方法的使用原因。

参考资源

学习建议

计院数值分析涵盖内容比较广，实际上涉及了数院数值分析、数值代数、微分方程数值解三门课的内容，因此想要深入贯通难度还是比较大。

考试范围是可能超出作业题范围的，所以平时不能只做作业涉及的内容，例如 2023 秋冬 Gaussian Quadrature 一节并没有布置作业，但是考试却考到了。同时不看 PPT 只看教材也是不够的，教材和 PPT 有较大的交集，但是两者都有对方没有的内容，并且有的小节的讲解逻辑也不同，面向考试出发的话可能基于 PPT 更好，希望贯通的话可以两者结合着看。

考试推荐还是买一个高级计算器（比如卡西欧），功能强大一些，掌握计算器直接求矩阵逆、直接解方程等技巧还是可以省下不少考试时间。考试题目比较灵活，还是考察对知识的理解，所以不要面向作业题、历年卷过拟合了，还是推荐平时多多思考，跟上课程节奏规律学习，以免期末火葬场。